Læreplanverket for kunnskapsløftet 2020 (Utdanningsdirektoratet, 2019) er utforskning og problemløsning ett av kjerneelementene i matematikkfaget. Dette understreker viktigheten av å kunne tilrettelegge for problemløsning i matematikkundervisningen. Vi ville derfor undersøke hvilke erfaringer lærere har med å tilrettelegge for problemløsning i matematikkundervisningen. Dermed utformet vi følgende problemstilling:

Hvilke erfaringer har lærere med å tilrettelegge for problemløsning i matematikkundervisningen?

Videre er oppgaven delt inn i tre forskningsspørsmål som skal hjelpe å belyse problemstillingen. Forskningsspørsmålene fokuserer på hvordan lærerne forstår problemløsning, hvordan lærerne strukturerer undervisningen når de tilrettelegger for problemløsning, og hvilke muligheter og utfordringer lærerne ser ved tilrettelegging for problemløsning i matematikkundervisningen.

For å belyse oppgavens problemstilling er det gjennomført en kvalitativ studie, hvor vi gjennomførte semistrukturerte intervju med seks lærere. Lærerne er matematikklærere og har erfaring med å tilrettelegge for problemløsning i matematikkundervisningen. For å få frem spekteret av erfaringer de ulike lærerne har, gjorde vi en temasentrert analyse. Den temasentrerte analysen er delt i de tre forskningsspørsmålene våre.

I analysen kommer det frem både likheter og ulikheter blant informantenes erfaringer. Flere av lærerne ga uttrykk for lignende forståelse av problemløsning, samtidig som det kom frem noen tydelige forskjeller i hvordan de forstår begrepet. Vi identifiserte fem kjennetegn på informantenes forståelse av problemløsning. Lærernes måter å strukturere undervisningen på handler i hovedsak om hvordan de introduserer et problem, hvordan de veileder elevene når de løser problemer og hvordan de avslutter arbeidet med problemløsning. Lærerne delte flere lignende erfaringer, men noe som varierer lærerne imellom er om de legger opp til diskusjon før og etter at elevene løser problemer eller ikke. Tidspress er noe flere av lærerne ser på som en utfordring. Tilpasset opplæring og mulighet til samarbeid ble av informantene beskrevet som både en mulighet og en utfordring når de tilrettelegger for problemløsning.

Denne studien ser på elevenes argumentasjon når de programmerer i dataprogrammet Tinkercad Codebloks. Forsström og Kaufmann (2018) og Dolonen et al. (2019) peker på et behov for mer forskning knyttet til programmering i skolen. Denne studien ønsker derfor å bidra med erfaringer å hvordan programmering kan undervises i matematikk og hvilke refleksjoner som er gjort rundt dem. I denne studien er det undersøkt hvordan Tinkercad og lærere legger til rette for elevenes matematiske argumentasjons og algebraisk tenkning. Det undersøkes også hvilke potensialer som kan knyttes til programmering og hvordan ut nytte dem.

I masteroppgaven har jeg valgt problemstillingen: Hvordan legger Tinkercad og lærere til rette for elevenes argumentasjon, og hvilke potensial er det for å utvikle argumentasjon gjennom Tinkercad? For å undersøke denne problemstillingen har jeg utviklet et undervisningsopplegg og gjennomført en case-studie med å teste ut et undervisningsopplegg i en 7.klasse. I undervisningsopplegget, som er elevenes første møte med Tinkercad, har elevene programmert blyantspisserbeholdere. Det er benyttet deltagende observasjon og datainnsamlingen er gjort med bruk av videokamera og skjermopptak. Ut ifra analysen av argumentasjonen til elevene og lærerne er det laget modeller inspirert av Conner et al. (2014) sin modell for kollektiv argumentasjon. I denne studien ses argumentasjonen på som en vei for å utvikle algebraisk tenkning. I analysen er det utviklet tre kategorier inspirert av Lavys (2006) og Mason et al. (2011). De tre kategoriene er visuelt argument, aritmetisk argument og funksjons argument.

I studien ses det tegn til utvikling av elevens argumenter. Den visuelle tilbakemeldingen i Tinkercad støttet elevenes argumentasjon i noen tilfeller. Den visuelle tilbakemeldingen i Tinkercad Codebloks var i noen tilfeller utilstrekkelig. Dette kan ha ført til at elevene følte på et behov for å argumentere aritmetisk. Mangelen på den visuelle støtten førte også til misoppfatninger. Min studie peker mot at læreren kan bidra som støtte som den mer kunnskapsrike andre sammen med Tinkercad. Læreres støtte hjalp elevene da de sto fast på ulike måter, slik at de klaret å komme videre, og førte til at elevens argumenter kom til syne. Analysen viste også at det var ytterligere potensial i situasjoner. Studien viser forslag til hvordan en kan utnytte potensialet i de situasjonene som oppstår. I potensialet legges det vekt på å la elevene evaluere sine egne påstander, at læreren legger til rette for refleksjon når visuelle argument ikke er tilstrekkelig og hvilke metoder som er mest egnet for å løse problemet i ulike tilfeller.

I Norge blir vi meir og meir fleirspråkleg, som gjenspeilar elev mangfaldet på skulebenken. Det fleirspråkleg aspekteret er påverka av tilflyttarar til Norge, med andre språks bakgrunnar, men også samfunnet sin teknologiske endring, kor elevane har tilgang til heile verden på nokon taste trykk. Med den teknologiske endringa, har det med ført fenomenet som kallast gaming. Fleirtal av barn og unge i dag gamer i sin fritid. Det kan hjelpa oss vaksne på skulen når vi skal laga varierte og relevante matematikk oppgåver for elevane. I 2020 kom det ein fornya læreplan, som skulle være i trå med det samfunnet vi lever i nå, og det elevane skal ut i arbeidslivet i. I den nye læreplanen var det noko som heite kjerneelementa i matematikk, nokon av kjerneelementa inneheld det å bruke språk i matematikk. Av den grunn vil denne oppgåva svara på problemstillinga Korleis bruker fleirspråklege elevar på sjuande trinn matematisk språk i arbeid med læringsverktøyet Minecraft: edu? For å svare på denne problemstillinga, har det blitt utforma to forskingsspørsmål. Første forskingsspørsmålet i denne oppgåve er: Korleis bruker fleirspråklege elevar kommunikasjon, ved bruk av Minecraft: edu som læringsverktøy? Det andre forskingsspørsmålet er: Kva for nokon matematiske argument bruker fleirspråklege elevar med Minecraft: edu som læringsverktøy?

For å undersøke denne problemstillinga blei det brukt Toulmin sin argumentasjonsmodell, til å analysera argumentasjonane elevane kjem med. Det blei også tatt i bruk Bishop sine seks aktivitets formar som rammeverk, til å sjå på det matematiske aspekteret i samtalane hos elevane. Det blei også funnet fram ulike litteraturar knyta opp i mot fleirspråklegheit og fleirspråklege elevar i matematikk, matematisk språk og argumentasjon, det blei også funnet litteratur som omtala det å bruke Minecraft og gaming i klasseroms undervisning. Forskinga er i samarbeid med LATACME prosjektet ved Høgskulen på Vestlandet. Denne oppgåva sitt datamateriale er videoopptak av to elevgrupper. Tilgangen til videoopptaka var gitt via LATACME prosjektet. Denne kvalitative forskingsmetoden gjer meg til fullstendig observatør. Elevane i videoopptaka arbeida med Minecraft: edu som læringsverktøy. Elevane brukte matematiske språk til å kommunisera idear, framgangsmetodar og i bygge konstruksjonar. Elevane brukte også matematisk språk til å argumentera med seg sjølv og medelevar. Elevane argumenterte i forbindelse med utrekning av reknestykke, bygging av figurar og når elevane skulle fylla inn og finne volum til TNT sprengt område. Dei forskjellige volum oppgåvene knyta til Minecraft: edu, har ført til variasjon i korleis argumentasjonane og kommunikasjonane blei konstruert og samansett av elevane under observasjonen.

Denne masteroppgavens hensikt er å undersøke kjennetegn i undervisningsmateriell tilhørende programmeringsverktøy som kan bli anvendt i skolen for å anvende algoritmisk tenkning. Jeg anser denne forskningen som vesentlig da det er mye omdiskutert hvor stor kompetanse lærere har innen algoritmisk tenkning og programmering, spesielt fordi det ble en del av læreplanen først i 2020. Jeg håper analyseverktøyet kan hjelpe lærere eller utdanningsinstitusjoner når de skal vurdere og velge hvilke programmeringsverktøy som vil egne seg til deres klasseromsundervisning.

Jeg tar for meg problemstillingen: Hva kjennetegner undervisningsmateriellet til programmeringsverktøy i matematikk og hvordan legger disse opp til anvendelse av algoritmisk tenkning?

For å svare på problemstillingen analyserte jeg ni undervisningsmateriell, hentet fra tre ulike verktøy, i lys av Benton et al. (2016) og Brennan og Resnick (2012) teori om algoritmisk tenkning, sammensatt i Charalambous et al. (2010) rammeverk. Denne sammensetningen gjorde at verktøyenes helhet kunne belyses, samtidig som jeg kunne dykke dypere inn i enkelte oppgaver og belyse tema på en hensiktsmessig måte. Verktøyene jeg har tatt for meg er Kodeskolen, KUBO og Sphero.

Funnene viser til stor variasjon mellom verktøyene, men at de har noen fellesnevnere innenfor algoritmisk tenkning. De legger alle opp til arbeid gjennom sosiokulturell læring, selv om de har ulik tilnærming til dette. De er like i at de kan anvendes som en introduksjon for algoritmisk tenkning, men de er ulike i hvor allsidig de er i form av at noen undervisningsmateriell inkluderer flere matematiske fagområder. De er også ulike i hvor stor grad de formidler informasjon og inkluderer lærer i undervisningsmateriellene.

At matematikkundervisningen foregår på et annet språk enn elevenes morsmål er ikke et nytt fenomen. Imidlertid vil undervisningsspråket varierer fra land til land, avhengig av hva som er politisk vedtatt. Engelsk er benyttes ofte, noe som også setter rammene for dette prosjektet. Ved å fokusere på tanzanianske ungdomsskoleelever, er prosjektets formål å studere hvordan elevene arbeider med matematikkfaget når undervisningsspråket er ulikt deres morsmål. Samtidig har det vært av interesse å undersøke hvordan elevenes andre språk, derav morsmål eller tilsvarende språk som benyttes hjemme, blir inkludert eller ekskludert i matematikkundervisningen.

Forskningsfeltet har, i afrikansk kontekst, hovedsakelig undersøkt hvilken påvirkningskraft språk kan ha på elevenes utbytte av matematikkundervisningen når den ikke foregår på morsmålet. Imidlertid er mindre forskning rettet spesifikt mot Tanzania. Prosjektet bidrar dermed til utvikling av forskningsfeltet ved at den undersøker hvordan språk benyttes i undervisningen i Tanzania. Prosjektets datamateriale er innsamlet ved hjelp kvalitative intervjuer med åtte elever på 10.trinn, samt to matematikklærere. I tillegg har 48 elever løst to matematiske tekstoppgaver. Der den første oppgavens kontekst er plassert i en vestlig kultur, tar den andre oppgaven mer hensyn til elevenes erfaringer.

Analyseringen av datamaterialet foregikk ved bruk av rammeverket Modes of Belonging, utviklet av Wenger (1998), som ser læring som del av en sosial prosess, derav at den foregår i et fellesskap. Tanzania er et lingvistisk mangfoldig land. Dog er engelsk det eneste tillatte språket i undervisningssammenheng på ungdomsskolen. Likevel ble bruk av swahili, undervisningsspråket på barneskolenivå, også ansett nødvendig i matematikkundervisningen på ungdomstrinnet. Dette for å forklare engelske begreper, samt repetere det matematikklæreren hadde forklart på engelsk. Både elevene og lærerne anså engelsk som nyttig, men samtidig var bruk av swahili et nødvendig hjelpemiddel, da det gjorde det enklere å forklare og forstå matematikken. Videre, for å kunne ta del i fellesskapet av elever som lærte matematikk utover sitt eget morsmål, her engelsk, anså elevene det som nødvendig å benytte engelsk. Både fordi det var forventet, samt at språket ble ansett avgjørende for muligheten for videre studier og karriere. Imidlertid fremkom det at elevene benyttet morsmålene sine i arbeid med matematikk utenfor undervisningen, eksempelvis dersom de skulle forklare noe til en medelev og engelsk eller swahili ble ansett utfordrende.

Denne casestudien har søkt innsikt i korleis bruk av Minecraft i undervising i barneskulen kan bidra til løysing av matematiske oppgåver, og då med fokus på kva problemløysingsoppgåver Minecraft kan leggje til rette for. Eg valte å skrive om Minecraft då undervisning sett i digitale spel er ein stor interesse for meg, og problemløysing grunna fokuset temaet har fått i den nye læreplanen.

Oppgåva er skrive frå eit elevperspektiv, men er skrive med eit ynskje om å bidra til korleis lærarar ser på bruk av digitale spel som Minecraft innan matematikkundervising. I casestudien min er data frå skjermopptak og transkribert samtale frå elevar på sjuande trinn kategorisering og analysert for å identifisere kva typar problemløysingsstrategiar som dukkar opp når ein brukar Minecraft i undervisingsituasjonar.

Grunna mangel på forsking innan problemløysingsstrategiar i Minecraft er studien byggja på tidlegare forsking på Minecraft i undervising knyta opp mot ulike definerte problemløysingsstrategiar, og på forsking gjort innan problemløysingsstrategiar i digitale spel. Det endelege lappeteppet av tidlegare forsking er brukt for å analysera funna mine. Analysen og diskusjonen min visar at problemløysingsstrategiar dukkar opp når elevar arbeider med matematiske oppgåver både når oppgåvene ber om dette, og av seg sjølv.

Typiske strategiar eg har funne er blant anna logisk resonnering, konkretisering og dele opp i delproblem. Likevel peikar analysen og diskusjonen min på at kvaliteten og utvalet av problemløysingsstrategiar er avhengig av oppgåvene gitt av klasseleiar og elevane si eiga erfaring innan problemløysing.

I denne oppgaven har vi gjennomført en dokumentanalyse av læreverket Dragonbox Skole med fokus på det nye kjerneelementet problemløsing i LK20. Målet med oppgaven har vært å finne ut av hvordan Dragonbox Skole legger til rette for elevers problemløsing i matematikk.

For å kunne gi et svar på dette har vi tatt i bruk Charalambous et al. (2010) sitt analyseverktøy som er spesielt utarbeidet for lærebokanalyse. Dette er grunnlaget for det analytiske rammeverket som er gjennomgående i hele oppgaven, men vi har måtte gjøre noen justeringer for at det skal passe problemstillingen vår. Vi har brukt analyseverktøyet til å utføre en horisontal analyse av hele læreverket for 4.trinn, og i tillegg har vi utført en vertikal analyse av deler av læreverket på samme trinn. Gjennom analysen har vi sett oss nødt til å nyansere begrepet problemløsing for å fange opp flest mulig oppgaver med problemløsingpotensial, og dermed kunne besvare problemstillingen vår best mulig. Vi har derfor brukt teori og tidligere forskning til å finne ut av hvilke elementer problemløsing inneholder, og deretter utarbeidet følgende kategorier som vi har plassert oppgavene under: ikke problemløsing, få elementer av problemløsing, flere elementer av problemløsing og ren problemløsing.

Den horisontale analysen viser hvordan læreverket er bygd opp, men den sier ingenting om hvordan problemløsing er vektlagt i læreverkets ulike deler. Det vi kan trekke ut ifra denne analysen er at kapitlene er likt fordelt i de analoge elementene, og at den digitale plattformen har overvekt av oppgaver som skal brukes til terping og øving. Ettersom vi kun har gått i dybden på noen kapitler har vi ikke nok datagrunnlag til å vite hva dette har å si for hvordan Dragonbox Skole legger til rette for problemløsing.

Den vertikale analysen viser at det er overvekt av oppgaver som ikke er problemløsing i de to kapitlene vi har undersøkt, og at alle de rene problemløsingsoppgavene er samlet i en egen bok. Med våre krav til problemløsing og våre analyser har vi kommet frem til at 90% av oppgavene ikke er problemløsing, 6,5% har få elementer av problemløsing, 3% har flere elementer av problemløsing og 1% er rene problemløsingsoppgaver. Det er likevel viktig å poengtere at hvorvidt en oppgave oppfattes som en problemløsingsoppgave eller ei avhenger av problemløseren. Det er derfor slik at det noen elever vil anse som problemløsingsoppgaver kan sees på som rutineoppgaver for andre, og det er dermed ikke mulig å få et resultat som vil romme alle 4.klassingers syn på oppgavene. For å vise hvordan vi har analysert har vi inkludert eksempeloppgaver fra kategoriene ikke problemløsing, få elementer av problemløsing, flere elementer av problemløsing og ren problemløsing. Disse eksempeloppgavene viser også en viktig del av den vertikale analysen.

Under arbeidet med oppgaven har vi reflektert over hva som er den ultimate andelen problemløsingsoppgaver i et læreverk. Dette finnes det ingen tall på, og problemløsing er tross alt kun en halvdel av ett av seks kjerneelementer i matematikk. Det er derfor ikke riktig å forvente at samtlige oppgaver skal inneholde elementer av problemløsing. Under skriveprosessen har vi også blitt bevisste på at problemløsing er et nyansert begrep som kan oppfattes på ulike måter, og dette er også noe som bidrar til å gjøre det utfordrende å si noe spesifikt om hvordan et læreverk bør legge til rette for problemløsing.

I 2020 trådde de nye læreplanene i verk i skolen. På grunn av et samfunn som stadig er i endring, ser man behovet for å endre skolen i tråd med samfunnsendringene. Målet med dette er å ruste elevene for fremtidens arbeidsplasser. Imidlertidvet man ikke sikkert hvilke ferdigheter som vil være relevante, men et flertall mener at IKT og programmering vil være viktig. Derfor har programmering blitt en del av matematikkfaget i den nye læreplanen. Av den grunn vil denne studien svare på problemstillingen: Hvilke muligheter finnes ved programmering av Micro:Bit i forbindelse medmatematikkundervisning på 4. og 5.trinn?For å svare på dette er det utformet to forskningsspørsmål 1. Hvilke matematiske kompetanser kommer til uttrykk når elever programmerer en Micro:Bit på 4.trinn?2. Hvordan kan man leggerettetil for progresjon innenfor disse matematiske kompetansene i arbeid med Micro:Bit på 5.trinn?For å undersøke problemstillingen har jeg funnet det relevant å først ser på det matematiske aspektet ved programmering av Micro:Bit. Derforerelevenes matematiske kompetanse identifisert med bakgrunn iKilpatrick et al. (2001)sin teori.Detsamme teoretisk rammeverket ble brukt for å gi svar på det andre forskningsspørsmålet, hvor intervju med læreren ga ossmulighet til å sepå hvordan man kan legge til rette for progresjon innenfor disse matematiske kompetansene hos elevene når de går på 5.trinn. Identifiseringen av matematiske kompetanser i elevsamtalene, og lærerens ytringer legger grunnlag for å si noe om hvilke muligheter som ligger ved brukav Micro:Bit på 4. og 5.trinn. Elevsamtalenesomforskningen bygger på, er samlet inn av LATACME-prosjektet ved Høgskulen på Vestlandet og tar utgangspunkt i en 4.klasses arbeid med programmering av en Micro:Bit i matematikkundervisningen. Forskningen kan kategoriseres som en kvalitativ hermeneutisk studie. Analysen av datamaterialet har vist at programmering av Micro:Bit i matematikkundervisningen åpner opp for at elever kan bruke sin matematiske kompetanse. Bruken av Micro:Bit gjorde også at elevene fikk muligheten til å bruke sin kritisk demokratiske kompetanse, engasjement, kreativitet, problemløsningskompetanse, matematisk argumentasjon og samarbeidsevne. I tillegg har studien presentert mulige grep for å forbedre undervisningen, når man arbeider med fysiske programmeringsobjekter så lavt som på 4. og 5.trinn.

Formålet med denne oppgaven har vært å undersøke hvordan et utvalg nyutdannede matematikklærere tilrettelegger for bruk av regnefortellinger i arbeid med matematiske problemer, for å få innsikt i elevers forståelse. Oppgaven har med dette hatt som mål å belyse problemstillingen: Hvilke erfaringer har tre nyutdannede matematikklærere med å tilrettelegge for bruk av regnefortellinger i arbeid med matematiske problemer på småtrinnet? For å belyse denne problemstillingen, er det gjennomført en kvalitativ studie. Det ble gjennomført intervju med tre nyutdannede matematikklærere, med noe kjennskap og erfaring med det å tilrettelegge for bruk av regnefortellinger i arbeid med matematiske problemer. Med utgangspunkt i lærernes utsagn i intervjuene ble det gjennomført en temaanalyse for å identifisere og finne mønster i datamaterialet (Braun & Clarke, 2006). Gjennom analysen har jeg funnet at de tre nyutdannede matematikklærerne får brukt erfaringer de har fra lærerstudiet i læreryrket. Blant annet i arbeidet med å tilrettelegge for bruk av regnefortellinger i arbeid med matematiske problemer. En styrke som kom frem i analysen, er at lærerne ved å tilrettelegge for bruk av regnefortellinger i arbeid med matematiske problemer, kan få innsikt i elevers forståelse. Studien viser også at en slik tilrettelegging kan gi elever muligheter til å utvikle sin matematiske forståelse ved å lære av hverandre, knytte hverdagslivet sitt til matematikkfaget og velge egne regnestrategier. Mer kunnskap rundt erfaringene til nyutdannede matematikklærere på småtrinnet, spesielt med å tilrettelegge for bruk av regnefortellinger i arbeid med matematiske problemer, kan bidra til matematikklærere som arbeider mer målrettet for å få innsikt i elevers forståelse. En slik tilrettelegging kan også gi elever på småtrinnet mulighet for dypere innsikt i sin matematiske forståelse, ved at de får knyttet hverdagsspråket sitt til det mer matematiske språket.

Denne masteroppgaven sammenlikner to læreverk, et papirbasert læreverk og et digitalt læreverk, med tanke på oppgaver innenfor det matematiske emnet funksjonslære. Jeg har i lys av forskningsspørsmålene for oppgaven sett på læreverkenes tilretteleggelse for elevers læring av overganger mellom representasjoner innenfor funksjonslære. I tillegg har oppgaven undersøkt på hvilken måte elevene har potensiale til å tilegne seg kunnskap i Niss og Jensens (2002) fire matematiske kompetanser; representasjonskompetanse, symbol- og formalismekompetanse, hjelpemiddelkompetanse og kommunikasjonskompetanse, gjennom arbeid med nummererte oppgaver i to læreverk. Datamaterialet er undersøkt og analysert gjennom en kombinasjon av kvalitativ og kvantitativ dokument- og lærebokanalyse. Datamaterialet er analysert med bakgrunn i teori omkring det didaktiske tetraederet (Rezat & Sträßer, 2012), matematiske kompetanser (Niss & Jensen, 2002), høye og lave kognitive krav i oppgaveformuleringer og Janviers (1978) tabell for overganger mellom representasjonsformer.

Til tross for at denne studien kun undersøkte to læreverk har resultatene likevel vist at det finnes tydelige trender felles for begge læreverkene innenfor funksjonslære. Undersøkelsen har vist at det ikke er signifikante forskjeller mellom læreverkene. Elevene får de samme mulighetene til å øve kompetansene sine innenfor både representasjonskompetanse, symbol- og formalismekompetanse og kommunikasjonskompetanse ved å arbeide med de nummererte oppgavene i begge læreverkene. Læreverkene legger opp til et potensiale for at elevene skal få øving i representasjonskompetanse på flere måter, eksempelvis gjennom flervalgsoppgaver og oppgaver som stiller elever like eller ulike krav til representasjonskompetanse i nivådelte oppgaver. Det eksisterer en mulighet for at elevene tilegner seg kunnskap om symbol- og formalismekompetanse innenfor funksjonslære i alle de nummererte oppgavene i læreverkene, men det mangler på generell basis oppgaveformuleringer med spørreordene hvordan og hvorfor. Den største forskjellen mellom læreverkene er uoverensstemmelsen med tanke på anbefaling av hjelpemidler vedrørende den digitale graftegneren GeoGebra. I tillegg kommer det frem av analysen at for å kunne oppfylle kjerneelementet i matematikk som handler om «representasjon og argumentasjon» er man avhengig av flere komponenter enn bare læreverkene. Dette er fordi ingen av de til sammen 124 oppgavene i læreverkene oppfordrer elevene til å samarbeide.

Forskning viser at det ikke er et entydig svar på hva dybdelæring er. Dette skaper utfordringer med tanke på hvordan det skal gjøres i praksis. Fagfornyelsen skal, med blant annet endret innhold i fagene, bedre tilrettelegge for utvikling av en dypere læring. Oppbyggingen og en annen progresjon i faget skaper mulighet for nytenking og tid til å lage kreative undervisningsopplegg i retning av undervisning for dybdelæring.

Dette er en kvalitativ studie som undersøker dybdelæring knyttet til matematikkfaget. Mitt formål med studien var å finne ut av hvilken oppfatning ulike matematikklærere har av begrepet dybdelæring, og å få fram hva informantene mener er gode arbeidsmetoder for å oppnå god forståelse og dybdelæring i matematikkfaget. Her inngikk et mål om å finne ut av hva lærerne anser som viktige faktorer, både universelt og for den enkelte elev med hensyn til dybdelæring. Studien beskriver imidlertid ikke gjennomgående et klart skille på dette. Gjennom semistrukturerte intervjuer har jeg hatt samtaler med fire lærere med ulik grad av erfaring. Intervjuene utgjør studiens datamateriale, og har blitt diskutert opp mot studiens teoretiske perspektiv.

Studiens funn avdekker at informantene hadde oppfatninger av begrepet dybdelæring som en motsetning til overflatelæring. De var opptatt av at dybdelæring innebærer å utvikle en dypere forståelse av matematikkens begreper, sammenhenger og strukturer. Studien avdekket også at informantene mener dybdelæring handler om å hente frem tidligere kunnskaper, bygge videre på disse, samt å mestre å anvende den i nye situasjoner. Det handler om å oppdage matematikkens verdi og å bruke matematikk-kunnskapene også utenfor klasserommet. Av elevene kreves det motivasjon og et aktivt engasjement i egne læringsprosesser. Når det gjelder tilrettelegging og motivasjon fra læreren side, ble tilpasset opplæring med fokus på variasjon og ulike tilnærminger til tema ansett som vesentlig. Her vektlegges en aktiv og skapende læring i samarbeid, gjennom dialoger og læringsfremmende aktiviteter med fokus på bevegelse, utforskende og problemløsende arbeid. Videre påpekte informantene hvordan veiledende verktøy kan fungere som en god pekepinn og hjelp i tilrettelegg. Felles for informantene er også et fokus på aktiviteter som fremmer kritisk tenking, vurdering og argumentasjon. Studien viser at informantene har flere felles møtepunkter i sin forståelse av og tilrettelegging for dybdelæring, men også noe variasjon. Mitt ønske er at de gjennom intervjuene ble ytterligere bevisst sitt ståsted, og at dette kan dras nytte av i kollegiet.

Denne studien er et forskningsbasert arbeid som er gjennomført med utgangspunkt i matematikkdidaktikk. Masteroppgaven er del av LATACME-prosjektet som er tilknyttet Høgskulen på Vestlandet, og har et overordnet tema om algoritmisk tenkning sin rolle i matematikkopplæringen. Studien har som formål å undersøke hvilke kompetanser algoritmisk tenkning har som intensjon å fremme i matematikkopplæringen. Studien er av kvalitativ art som tar for seg tre ulike sider ved formålet og svarer på tre forskningsspørsmål. Det første forskningsspørsmålet undersøker hva som er bakgrunnen for implementeringen av algoritmisk tenkning i matematikkopplæringen. Det andre forskningsspørsmålet omhandler hvilke aspekter ved algoritmisk tenkning som kommer frem i tre læreres forståelse og oppfatning av algoritmisk tenkning. Det tre tredje forskningsspørsmålet ser på hvilke aspekter som kan komme frem i aktiviteter som er nevnt av de tre lærerne. Aktuelle styringsdokumenter er undersøkt for å belyse intensjonen som ligger til grunn for algoritmisk tenkning i matematikkopplæringen. Deretter har jeg med godkjent søknad fra NSD, gjennomført kvalitativt forskningsintervju med tre matematikklærere om algoritmisk tenkning. For å undersøke hvilke aspekter ved algoritmisk tenkning som kommer frem i nevnte aktiviteter og de tre lærernes forståelse og oppfatning av algoritmisk tenkning, har jeg benyttet et rammeverk for algoritmisk tenkning som tar for seg kjerneferdigheter, tilnærminger og dimensjoner i algoritmisk tenkning. Funn i studien viser at styringsdokumenter knytter intensjonen bak algoritmisk tenkning i matematikkopplæringen til krav om en økt generell forståelse for teknologiens rolle i samfunnet. Ved å implementere algoritmisk tenkning i matematikkopplæringen, kan man legge til rette for å utvikle nye ferdigheter tilpasset fremtidens behov. Videre viser resultater fra analysen at det er en overensstemmelse mellom aspekter ved algoritmisk tenkning som kommer frem i aktiviteter, og hva lærerne sier om algoritmisk tenkning. Studien avdekker imidlertid at det ikke er et tydelig samsvar mellom intensjonen bak algoritmisk tenkning i matematikkopplæringen, og hva som kommer fram i aktiviteter i matematikkopplæringen og i de tre lærernes forståelse og oppfatning av algoritmisk tenking.

Innføringen av den nye læreplanen har ført med seg endringer og nye fokus som skal være mer kompatible med samfunnsutviklingen. Blant disse er programmering blitt inkludert som en del av matematikkfaget, og blir omtalt som en viktig ferdighet for det 21.århundre. Flere forskere peker imidlertid på manglende forskning om hvordan dette kan påvirke elevenes læring i matematikkfaget. I tillegg til programmering er det også blitt et økende fokus på elevers kommunikasjon og viktigheten av at de skal kunne delta i matematikkfaglige samtaler. På bakgrunn av dette, samt studier som etterlyser mer kunnskap om programmering i skolen, er følgende problemstilling blitt adressert: Hvilket potensial har bruk av en programmerbar robotball til å legge til rette for matematikkfaglige samtaler på mellomtrinnet? For å belyse denne problemstillingen er det blitt gjennomført en casestudie over to undervisningsøkter med elever på 6. og 7. trinn. Det ble videre tatt videoopptak av seks elever fordelt på to grupper, i arbeid med programmeringsverktøyet Sphero-ball. Anna Sfard (2007) sitt kommognitive rammeverk med utgangspunkt i de fire diskursive kategoriene, har blitt brukt til å studere elevenes interaksjoner. På denne måten har det vært mulig å studere og si noe om hvordan Sphero-ballen har vært delaktig i utviklingen av elevenes matematikkfaglige samtaler. Basert på analysen blir det trukket frem til tre aspekter ved robotens potensial som kan legge til rette for elevenes matematikkfaglige samtaler; At Sphero-ballen tilbyr og legger til rette for flere visuelle mediatorer, at den kan gi elevene praktiske og virkelignære erfaringer og at roboten kan ta rollen som den mer kunnskapsrik andre. Flere forskere peker på at det å jobbe med roboter i matematikkundervisningen i seg selv ikke er en mirakelkur, men at undervisningsopplegget og rammene rundt er av stor betydning. Oppgavens hensikt var dermed å kartlegge og belyse noe av potensialet Sphero-ballen kan ha for å legge til rette for elevenes matematikkfaglige samtaler. Å kjenne til hvilke muligheter som kan ligge i et slikt programmeringsverktøy, kan hjelpe lærere med å utforme undervisningsopplegg og gjøre grep som kan dra nytte av disse. Sphero-ballen har trekk fra både skjerm- og robotprogrammering, som gjør at noen av funnene for denne studien også trolig kan ha nytteverdi ved bruk av andre programmeringsverktøy

Matematisk modellering er fremtredende i den nye læreplanen. Til tross for en del forskning på feltet som omhandler matematisk modellering, mangler det forskning rettet mot validering i arbeid med matematisk modellering. Tidligere forskning viser til en manglende enighet om hva validering er og hvordan det oppstår. På bakgrunn av dette undersøkte jeg følgende: Hva kjennetegner elevenes valideringer og hvilken rolle spiller denne valideringen i arbeid med en modelleringsoppgave i matematikk på 10. trinn? For å belyse problemstillingen ble en kvalitativ metode benyttet, hvor seks elevgrupper i en 10. klasse ble observert med lydopptak når de arbeidet med en modelleringsoppgave i en undervisningstime. Det teoretiske rammeverket var Czocher sine valideringsaktivteter som baserer seg på Blum og Leiß sin modelleringsprosess, samt begreper fra Borromeo Ferri. Her ble elevenes valideringer sett i sammenheng med deres modelleringsprosess. Studien viser at elevene validerer gjennomgående i modelleringsprosessen hvor de sammenligner ulike deler av den. Spesielt validerer de det reelle resultatet, samt de valgte variablene ved å endre verdien, erstatte eller legge til nye variabler. Videre validerer de relasjonene til variablene, utregningen sin, samt deres tolkninger av det matematiske resultatet. Funnene viser at noen elever validerer opp mot oppgaveteksten og ikke den virkelige situasjonen, da den oppleves som en pseudo-realitet. Elevene inviterer ofte til en validering, hvor den enten blir tatt i mot eller ikke. For å validere noe, benytter elevene seg enten av tidligere forkunnskaper og erfaringer fra den virkelige verden, eller ved å stole på en følelse uten å begrunne hvorfor. Noen henvender seg også til en autoritet, da enten studenten eller læreren. Valideringen spiller en viktig rolle i arbeidet da den enten gir elevene en bekreftelse på at arbeidet er riktig, at modellen er utilstrekkelig slik at de avviser den, eller at de reviderer modellen for å beskriver situasjonen bedre. Funnene viser også at elevene kan validere uten å komme frem til en tilstrekkelig modell eller et rimelig reelt resultat. Gjennom denne studien kan matematikklærere få innsikt i hva validering er, hvor og hvordan det skjer, og hvorfor det er viktig å sette fokus på dette i arbeid med matematisk modellering. Denne kunnskapen vil gjøre det mulig for lærere å støtte elevene i arbeidet, hjelpe dem med å utvikle gode strategier for å gjennomgående overvåke sin egen prosess og utvikle en matematisk modell som er tilstrekkelig i forhold til den virkeligheten de modellerer.

Vi lever i eit teknologirikt samfunn som er i stadig utvikling. Dette har stilt krav til utdanningssektoren som skal utruste elevane med viktige kompetansar for framtida. Frå og med hausten 2020 har eit nytt læreplanverk blitt gradvis innført i norske skular. I det nye læreplanverket blir mellom anna programmering inkludert som ein del av matematikkfaget. Det finst fleire argument for å inkludere programmering i matematikkfaget. Til dømes kan bruken av programmering til å utforske og løyse problem, vere eit godt verktøy for å utvikle matematisk forståing (Utdanningsdirektoratet, 2020). Dette er noko som blir undersøkt ytterlegare i denne oppgåva, gjennom fylgjande problemstilling: Korleis kan elevar utvikle strukturell og operasjonell forståing av geometri gjennom utforsking i programmeringsspråket Python? For å svare på problemstillinga har det blitt forska på seks elevar på 10. trinn som har arbeida i par for å løyse opne geometrioppgåver i Python. Vidare har det blitt valt ut ein arbeidsprosess frå kvart elevpar, som blir presentert i form av samtaleutdrag og skjermbilete frå Python. For å kunne seie noko om elevane sin strukturelle og operasjonelle forståing for geometri har det blitt utarbeida eit nytt samansett rammeverk beståande av fire omgrep: problembehandlingskompetanse, tankegangskompetanse, algoritmisk tenking og utforsking. Dei fire omgrepa er valt ut fordi dei inneheld element som har noko til felles med Sfard (1991) sin beskriving av strukturell og/eller operasjonell forståing. Dessutan kan dei fire omgrepa vere med på å beskrive elevane sin tilnærming til programmeringsoppgåvene, sidan alle omgrepa på ein eller anna måte handlar om utøvinga av matematikk. Analysen, som baserer seg på dei fire omgrepa, viser at ein kan utvikle operasjonell og/eller strukturell forståing av geometri gjennom utforsking i Python. Diskusjonen viser kva rolle Python kan ha spelt i denne utviklinga. Det viser seg at moglegheita til prøving og feiling, samt det at ein må løyse oppgåvene steg-for-steg kan bidra til utvikling av dei to forståingane. I tillegg er det mykje som tyder på at elevar kan ha positivt læringsutbytte av å programmere saman i par.

Høsten 2020 trer de nye læreplanene i kraft med fokus på dybdelæring i de ulike fagene. I matematikkfaget har det blitt utarbeidet seks kjerneelementer som skal bidra til at elever oppnår dybdelæring i faget, hvorav matematisk modellering er ett av disse elementene. I denne studien er det blitt undersøkt hvordan dybdelæring foregår i matematikk ved arbeid med matematisk modellering og hvordan lærere kan tilrettelegge for dette. For å svare på denne problemstillingen er studien avgrenset med to forskningsspørsmål som tar for seg:

1. Hvilke matematiske læringsprosesser kan gjenkjennes hos elever i arbeid med en modelleringsaktivitet?
2. Hvordan bidrar modelleringsfremmende aktiviteter til kvaliteten på dybdelæring hos elever?

Elevene i denne studien arbeidet først med modelleringsfremmende aktiviteter med temaet statistikk som forarbeid til en modelleringsaktivitet. Modelleringsaktiviteten ble brukt til å samle inn data i form av lydopptak og spørreundersøkelse av seks elever i en 7. klasse. Opplegget og datainnsamlingen ble gjort av meg som både lærer og forsker. Innsamlet data er blitt analysert ved hjelp av kvalitativ metode (Kvale & Brinkmann, 2015; Thagaard, 1998).

For å besvare det første forskningsspørsmålet er det brukt fem komponenter satt sammen av Nosrati og Wæge (2018) i analysen og diskusjonen, for å si hvilke læringsprosesser som kan gjenkjennes i elevenes arbeid med modelleringsaktiviteten. I denne oppgaven er det kommet frem til at en kan gjenkjenne komponentene begrepsmessig forståelse, prosedyrekunnskap, anvendelse, resonnement og metakognisjon og selvregulering i elevarbeidet.

I forhold til det andre forskningsspørsmålet er det i denne studien kommet frem til at modelleringsfremmende aktiviteter bidrar til å forberede elever på modelleringsaktiviteter. Det er også vist at modelleringsfremmende aktiviteter og modellering bidrar til dybdelæring i matematikk. I denne studien er det også funnet ut at modelleringsfremmende aktiviteter har en sterk innflytelse på hvordan elevene arbeidet med modelleringsaktiviteten. Det er også funnet ut at lærere kan tilrettelegge for dybdelæring ved arbeid med matematisk modellering, ved å jobbe med modelleringsfremmende aktiviteter som forarbeid til modelleringsaktiviteten.

In this master’s thesis I have researched 7th grade students in Norway demonstrating reasoning in engagement with rich mathematical tasks, which conditions the students set to the tasks and how these conditions affected their mathematical reasoning. The study is based on Hagland’s, Hedrén’s and Taflin’s (2005) definition on rich mathematical tasks. Among other things, these tasks are detected by introducing mathematical ideas, being easy to work with, stimulate to mathematical conversation based on different solutions and can lead students and teachers to generate new interesting mathematical problems. These traits may lead students to demonstrate reasoning and ask questions to the task that may become conditions.

The theoretical framework about reasoning is based on a mix from Baroody’s (1993), Hana’s (2013), Lithner’s (2006; 2008) and Reid’s (2002) definitions about different forms of reasoning. These definitions have been used to elucidate some of the students’ reasoning, mainly deductive reasoning. In addition, Balacheff’s (1988) study about aspects of proof in pupils’ practice has been used to suggest some possible explanations for the results from this thesis.

The theoretical framework about looking at the conditions set by the students is inspired by Silver’s (1993) and Stoyanova’s and Ellerton’s (1996) definitions about problem posing. The main point is that a student, based on their mathematical experience, constructs personal interpretations of situations, and formulates meaningful mathematical problems. This is linked together with what Stylianides (2016) calls “proving tasks with ambiguous conditions”. These types of tasks are intentionally ambiguous – and thus subject to different legitimate assumptions by students – with a purpose to lead students to ask questions. These questions, which may become conditions, can affect the mathematical content that students work with – and this can affect the mathematical reasoning in some way.

The results show that 7th grade students often use deductive reasoning linked to arithmetic rules. There were also cases where students reasoned with assumed premises to reach a conclusion, which means they used hypothetically deductive reasoning. I have also seen one example of a creative mathematically founded reasoning, which was generated by a couple of students who spent time, effort and thought activity while working on a task.

Furthermore, I saw that the students – when facing rich mathematical tasks – not only set conditions that affected the mathematical content, but also spent time suggesting how to include conditions that seemed derogatory from the mathematical content. I see that the teacher’s input in such cases is a key variable to put students back on a mathematical track.

I denne masteroppgaven er det undersøkt hvordan to lærere fra samme skole i Brasil arbeider med matematisk argumentasjon. Eksisterende forskning på matematisk argumentasjon viser at det bør være en del av matematikkundervisningen. Høsten 2020 kommer det en reformert læreplan som har et større søkelys på matematisk argumentasjon. Derfor var det interessant å undersøke hvordan lærere fra et annet land reflekterte rundt argumentasjon i matematikktimene. På bakgrunn av dette er følgende problemstilling utarbeidet:

En casestudie: Matematisk argumentasjon på en brasiliansk skole. Hvordan definerer og reflekterer to lærere rundt matematisk argumentasjon og hvordan jobber lærerne for å etablere og utvikle normer i arbeid med matematisk argumentasjon?

For å besvare problemstillingen reiste jeg til Brasil og gjennomførte intervju og observasjoner av de to lærerne. Jeg analyserte de innsamlede dataene for å undersøke hvilke refleksjoner lærerne hadde rundt argumentasjon, og hvordan de jobbet for å etablere normer i dette arbeidet.

Funnene i studien viser at de ulike lærerne reflektere forskjellig rundt matematisk argumentasjon. Den ene læreren definerer matematisk argumentasjon som en del av læringsprosessen, der elevene skal lære å argumentere for å oppnå forståelse. I tillegg hun hadde tydelige refleksjoner rundt argumentasjon på et generelt nivå, og viser til få forskjeller mellom argumentasjon i matematikk og i andre fag. Den samme læreren har et bevisst forhold til etablering av normer, og tar i bruk konkrete grep i klasserommet, både på individuelt- og kollektivt nivå. Den andre læreren hadde et tydelig teoretisk matematisk perspektiv på matematisk argumentasjon, som hun knyttet opp til bevis og matematiske sannheter. Hun reflektere i større grad rundt matematisk argumentasjon, og hvordan det skiller seg fra argumentasjon i andre fag. Denne læreren reflektere også over sosiomatematiske normer, fremfor sosiale normer i klasserommet. Studien viser at hun har et ubevisst forhold til hvordan hun skal etablere normer, og hvilke grep hun anvender i klasserommet. Mine funn viser at lærerne som jobber ved samme skole har forskjellige definisjoner og refleksjoner rundt matematisk argumentasjon, og at de har ulik tilnærming til hvordan de går frem for å etablere normer i arbeid med det.

Formålet med denne studien har vært å undersøke hvordan elever formulerer seg og bruker språket sitt for å forstå matematikk. Det har vært rettet et særlig fokus mot de flerspråklige elevene, og følgende to problemstillinger er her blitt belyst:

1. Hvordan anvender og veksler elever mellom ulike registre når de diskuterer og arbeider med en modelleringsoppgave i matematikk?
2. Hvilke sosiomatematiske normer kan identifiseres som kan virke inn på elevenes valg av registre?

For å besvare disse spørsmålene har jeg valgt en kvalitativ tilnærming, med casestudie som forskningsdesign. Det primære datamaterialet er samlet inn ved å observere og gjøre lydopptak av fire elevpar på syvende trinn som diskuterte og arbeidet med en modelleringsoppgave. For å styrke validiteten av datamaterialet, særlig i identifiseringen av sosiomatematiske normer, ble det også gjennomført et intervju med elevenes matematikklærer.

I analysen er Predigers (2016) begreper om hverdagsspråklig register, skolespråkregister og teknisk språkregister tatt i bruk. Med bakgrunn i elevenes parvise diskusjon og individuelle skriftlige besvarelser i modelleringsaktiviteten har jeg identifisert hvordan vekslingen mellom ulike uttrykksmåter kan bidra til å skape mening. Det hverdagsspråklige registeret bidrar blant annet med tilpasning og dypere forståelse. Skolespråkregisteret hjelper elevene med å holde fokus på det matematiske problemet som skal løses, og det tekniske språkregisteret tydeliggjør relasjoner mellom opplysninger og hva oppgaven faktisk ber om.

Da det i Norge er gjort lite forskning på samspillet mellom de ulike språkregistrene i matematikkundervisningen, er denne oppgaven et bidrag til å få innsikt i hvordan elever anvender registrene i språket sitt, og hvilken betydning vekslingen kan ha for elevenes forståelse av matematiske konsept. Økt bevissthet og kunnskap innen dette feltet vil kunne åpne opp for mer språkpositive matematikklasserom, hvor både det hverdagslige og det faglige språket sees som en viktig ressurs for læring.

(This study was undertaken at OsloMet University but was connected to LATACME and Tamsin Meaney was the supervisor alongside Vidgis Flottorp, who is on our national advisory board)

Formålet med denne studien har vært å undersøke hvilke begrunnelser minoritetsspråklige foreldre har for å sende barna sine til lørdagsskole for å lære matematikk. For å se nærmere på dette har det blitt gjennomført en kvalitativ studie, der tre minoritetsforeldre har blitt intervjuet. De tre minoritetsforeldrenes som det tas utgangspunkt i, sender barna sine til henholdsvis russisk, tamilsk og japansk lørdagsskole. For å få innsikt i deres tanker og begrunnelser for deltagelsen i lørdagsskolen, ble det gjennomført et semi-strukturert intervju. På grunnlag av manglende forskning på dette feltet, og spesielt i Norge, ble denne studien sett på som innledende, der den er aktuell for både forskere og lærere.

I denne forskningen har det blitt tatt utgangspunkt i Etienne Wenger (1998) sine teorier om praksisfellesskap og tilhørighetsforhold. Praksisfellesskapet i dette tilfellet er minoritetsforeldre som ønsker å sende barna sine til lørdagsskole for å lære matematikk. Datamaterialet fra intervjuene med minoritetsforeldrene ble derfor analysert med utgangspunkt i tilhørighetsforholdene, der det ble gjort funn i følgende kategorier med tilhørende underkategorier: engasjement (relasjoner), fantasi (bilder av oss selv og bilder av muligheter) og innordning (diskurs og kompleksitet). Som språklige indikatorer ble det brukt teorier fra Anna Sfard (2001, 2007, 2009) for å si noe om diskurs og Richard Skemp (1976) for å si noe om ulike typer forståelser.

Hovedfunnene i denne forskningen viste at det var en kompleks situasjon å si noe om praksisfellesskapet, der de innad hadde ulike meninger om hva som var viktig for dem. Ønsket om en god utdanning viste seg å være viktig for praksisfellesskapet, med ulike nyanser for hvordan de argumenterte for å bruke matematikkundervisningen i lørdagsskolen for å oppnå dette. Praksisfellesskapet så også ut til å ha spesifikke aspekter som de foretrakk i matematikkundervisningen i lørdagsskolen. Dette kunne være hva matematikk skulle være og hvordan det skulle undervises. Aspekter som instrumentell læring, kritisk tenkning og generelt bedre undervisningsmetoder fra læreren, var eksempel på dette. Matematikklæring var ofte en sekundær årsak for hvorfor foreldre i praksisfellesskapet valgte å sende barna sine til lørdagsskoler. Den primære årsaken var at barna skulle praktisere morsmålet. Forskningen viste også at barna selv ikke ønsket deltakelse i lørdagsskolen for å lære matematikk i samme grad som foreldrene, der det innad i praksisfellesskapet var ulike tilnærminger til hvorfor barna deltok, og hvordan det ble sørget for deres deltakelse.

Høsten 2020 innføres ny læreplan, L20, i den norske skolen. En fornyelse av læreplanen kan stille nye krav til lærernes kunnskap og kompetanse. Matematikkfaget i L20 inneholder fem kjerneelementer, som beskriver det viktigste faglige innholdet elevene skal arbeide med i opplæringen gjennom hele grunnskolen. Et av kjerneelementene er modellering og anvendelser. Dette innebærer at matematisk modellering kommer tydeligere og tidligere inn i opplæringsløpet enn det gjør i dagens læreplan. Det økte fokuset på matematisk modellering i L20 har bakgrunn i at det blir ansett som en relevant kompetanse for deltakelse i den stadige samfunnsutviklingen. Matematisk modellering handler om å oversette mellom den virkelige verden og matematikken, i begge retninger. Matematisk modellering kan brukes til å inkorporere virkelige og realistiske situasjoner i matematikkfaget. En økt bruk av realistiske kontekster kan gjøre faget mer tilgjengelig for elevene. I denne oppgaven undersøker jeg hvordan lærere på 1.-7. trinn uttrykker seg om realistiske kontekster og matematisk modellering i sin undervisning, og hvordan de uttrykker seg om det økte fokuset på matematisk modellering i L20. Datamaterialet er hentet inn ved å gjennomføre intervju med seks lærere på 1.-7. trinn, som underviser i matematikk. Datamaterialet er bearbeidet gjennom en kombinasjon av konvensjonell innholdsanalyse og kategorisering med utgangspunkt i sentrale aspekter fra teori om realistiske kontekster, matematisk modellering og tilhørende didaktiske perspektiver. Funnene indikerer at lærernes kompetanse knyttet til begrepet realistiske kontekster var mer omfattende enn til begrepet matematisk modellering. I undersøkelsen kom det også frem relevante utsagn som kan kobles til didaktiske perspektiver tilhørende både realistiske kontekster og matematisk modellering, uten at lærerne alltid var bevisst på hvilket av begrepene de snakket om. Lærerne i utvalget viste positive holdninger til innføring av L20 og kjerneelementet modellering og anvendelser. Det kom frem uttalelser om et behov for å øke både egen og andre læreres kompetanse knyttet til matematisk modellering i forbindelse med at det innføres ny læreplan.

Fra høsten 2020 iverksettes en fornyet versjon av læreplanverket for kunnskapsløftet. I lys av samfunnets teknologiske utvikling, skal opplæringen bidra til å styrke elevers digitale ferdigheter – et kompetanseområde som betegnes til å være verdifullt for fremtiden som venter dem. Matematikkfaget skal gi elever mulighet til å utvikle digitale ferdigheter i aktiviteter som fremmer utforsking, problemløsning og samarbeid. Lærere utgjør en viktig forutsetning for å nå dette målet, der tilrettelegging av undervisning hviler i deres hender. Studier som undersøker hvordan lærere integrerer IKT i sin undervisningspraksis, vektlegger ofte et fokus på hvorvidt lærernes kompetanse er tilstrekkelig eller ikke. I denne oppgaven retter jeg blikket mot lærernes oppfatninger for å tilegne forståelse for hvordan IKT inngår i deres matematikkundervisning. Dette valget er basert på litteraturen som redegjør for et tydelig forhold mellom læreres oppfatninger og undervisningspraksis. Problemstillingen er utformet som et åpent fokus, der det søkes etter innsikt i hvordan lærere oppfatter muligheter med digitale verktøy som fremmer deres oppfatninger om god matematikkundervisning. Forskningsspørsmålene konkretiserer retningen i oppgaven:

1. Hvilke oppfatninger har lærere av hva god matematikkundervisning er?
2. Hvordan oppfatter lærerne sine handlingsmuligheter med digitale verktøy for å tilrettelegge for god matematikkundervisning?

For å belyse problemstillingen har det blitt tatt utgangspunkt i kvalitative intervjuer med fire matematikklærere. Analyse av lærernes oppfatninger foregår gjennom en hermeneutisk fortolkningsprosess, hvor det også benyttes teori som analyseverktøy. Studiens overordnede rammeverk består av en fornyet og bearbeidet versjon av Hadjerrouit (2017) sin affordance modell. Denne modellen er utformet på betingelsen om å kunne belyse hvorvidt lærerne ser muligheter med digitale verktøy i lys av sine oppfatninger om god matematikkundervisning. Sentrale funn fra studien tilsier at en instrumentalistisk oppfatning er fraværende hos informantene, noe som er ulikt forskningslitteraturen. Den platoniske oppfatningen er mest fremtredende hos informantene, mens oppfatningen problemløser fremkommer som tydelig hos en informant. Det er også denne informanten som i størst grad ser muligheter med digitale verktøy i form av oppfatningen problemløser.

Formålet med denne studien har vært å undersøke hvordan prosedyremessig og begrepsmessig kunnskap kom til uttrykk i den skriftlige og muntlige matematiske argumentasjonen til seks elever i en 3. klasse. For å studere dette har det blitt gjennomført en kvalitativ studie. De seks elevene skrev hver sin regnefortelling, og ble intervjuet med bakgrunn i denne. Et fokus i oppgaven har vært å studere elevenes uttrykksformer for å se hvordan deres tanker og argumentasjon kommer til uttrykk. For å få innsikt i elevenes tenkning ble elevene filmet under datainnsamlingen, slik at både de verbale og nonverbale uttrykksformer ble synliggjort. Med bakgrunn i at ‘resonnering og argumentasjon’ er et av kjerneelementene i den nye læreplanen som trer i kraft i 2020, er studien svært aktuell for lærere (Kunnskapsdepartementet, 2018).

Elevenes skriftlige regnefortellinger og de muntlige responsene i intervjuene ble analysert med utgangspunkt i Toulmin (2003) sin argumentasjonsmodell, og følgende språklige indikatorer som er inspirert av Bills (2001; 2002) og Bills og Gray (2001) sin forskning: elevenes bruk av personlig pronomen, grammatisk tid, logiske koblinger og multimodal argumentasjon. Disse indikerte hvilke elementer av prosedyremessig og begrepsmessig kunnskap elevene uttrykte. De to sistnevnte indikatorene var mest nyttige for å finne elementer av de to formene for kunnskap i elevenes argumentasjon. I studien ble det funnet multimodal argumentasjon både i de skriftlige regnefortellingene og i de muntlige elevresponsene. Toulmin ble brukt som et verktøy for å identifisere hvordan elevene utformet matematisk argumentasjon gjennom sine uttrykksformer. Det er viktig å presisere at det i denne studien ble sett etter elementer av prosedyremessig og begrepsmessig kunnskap, da det ikke er hensiktsmessig å si at elever bare har den ene formen for kunnskap (Rittle-Johnson, Siegler og Alibali, 2001, s. 347).

I studien ble det funnet elementer av både prosedyremessig og begrepsmessig kunnskap i den skriftlige og muntlige argumentasjonen til alle de seks elevene. Likevel ga elevenes muntlige argumentasjon ytterligere grunnlag for å identifisere elementene, da argumentasjonen var uttrykt mer eksplisitt. Mottakerbevissthet kan påvirke argumentasjonen som kommer til uttrykk, da tankene kan forbli i hodet når elevene skriver. Forskerens spørsmålsstilling kan gjøre at elevene formidler mer informasjon, og dermed blir argumentasjonen deres utfordret (Yackel, 1995; Weber, Maher, Powell og Lee, 2008, s. 249).

I kjerneelemtene for den nye læreplanen, Læreplan for Kunnskapsløftet 2020, som kommer neste høst viser føringer på at argumentasjon blir en større del av matematikkundervisningen. Innholdet i læreplanen for matematikkfaget blir preget av disse kjerneelementene, noe som vil si at argumentasjonen kommer tydeligere frem i faget. Dette er bakgrunnen for at jeg valgte å rette oppgaven min mot argumentasjon. I tillegg har jeg valgt å delta i et prosjekt som handler om regnefortellinger, som er en fortelling som det inngår matematiske problemstillinger (Botten, 2011, s. 183). Fokuset har dermed vært rettet mot å knytte fortelling og matematikk sammen.

Hensikten med denne studien har vært å vise hvordan elever på tredje trinn argumenterer når de arbeider med regnefortellinger. For å utvikle innsikt i dette har det blitt samlet inn regnefortellinger som elevene har skrevet og vi hadde intervju med noen av elevene for å snakke om deres regnefortelling. Jeg valgte å ha individuelle intervju med seks elever for å gå dypere inn på hvordan de argumenterte skriftlig og muntlig i arbeid med regnefortelling.

I analysen av argumentasjonene til elevene har jeg tatt i bruk Toulmin sin argumentasjonsmodell, der jeg har sett på hvordan argumentasjonen var og hvilken funksjon argumentene til elevene har. Resultatene i undersøkelsen har vist at elevene argumenterer ulikt i den skriftlige og den muntlige argumentasjonen, der analysen har vist at den muntlige argumentasjonen kommer det frem flere av elementene i Toulmin sin modell. Denne viser dermed at elevene argumenterer mer i samtale med en voksen enn i den skriftlige regnefortellingen.

Samfunnet er i stadig endring, og utdanningen må følge med i samfunnets utvikling. I 2020 vil nye læreplaner bli tatt i bruk i norske skoler, med fornyelse av fagene som skal ruste elevene for fremtiden. En av fornyelsene er at programmering blir en del av matematikkpensumet. I denne studien er det blitt undersøkt hvordan programmering kan fremme matematisk kompetanse. Studien er avgrenset ved følgende to forskningsspørsmål: 1) Hvordan kommer matematisk kompetanse til uttrykk i elevers samtaler når de programmerer? 2) Hvordan konstruerer elever matematisk kunnskap når de programmerer? Som bakteppe for studien er det benyttet teori jeg anser som relevant til å undersøke oppgavens forskningsspørsmål. Basert på Kilpatrick, Swafford & Findells (2001) rammeverk om matematiske komponenter og Niss & Højgaard Jensens (2002) inndeling av matematisk kompetanse, har jeg utformet et rammeverk som er benyttet til å belyse det første forskningsspørsmålet. Seymour Papert (1991, 1993) og konstruksjonismens læringssyn er bruk som teoretisk grunnlag for det andre forskningsspørsmålet, om hvordan elever konstruerer matematisk kunnskap når de programmerer. Matematisk kunnskap er i denne sammenheng sett på som en del av en helhetlig matematisk kompetanse. Studien har tatt utgangspunkt i fire elevpar fra 7. trinn sitt arbeid med å programmere en femkant i Scratch. Metoden for analysen av elevsamtalene har kvalitativ hermeneutisk tilnærming. Analysen har vist at programmering kan bidra positivt til å fremme matematisk kompetanse. Elevene har sammen kommet frem til en løsning på oppgaven gjennom en lærerik prosess, der matematisk kompetanse er fremmet på ulike områder. Samarbeid om slike matematiske oppgaver har gitt innblikk i hvordan elever konstruerer matematisk kunnskap. Samarbeid, kreativitet, resonnering, engasjement, prøving og feiling er noen av kvalitetene som har preget læringsprosessen. Formålet med studien er å bidra til økt kunnskap om hvordan programmering kan fremme elevers matematiske kompetanse. Ønsket er at studien vil være nyttig kunnskap for lærere og andre roller i utdanningssektoren. Jeg håper også det vil bidra til større interesse for hvordan programmering kan styrke matematikkundervisningen. Arbeidet med studien har gitt meg større innblikk i hvordan jeg som fremtidig mattelærer kan kombinere matematikk og programmering på en lærerik måte. Jeg har også fått en dypere kjennskap til forskning på feltet.

I denne studien har hensikten vært å søke innsikt i samspillet mellom argumentasjon og tallforståelse. For å søke innsikt er det foretatt en kvalitativ studie hvor fire elever fra 3.klasse har deltatt. Elevene har arbeidet i par og forsøkt å lage en regnefortelling sammen basert på deres interesser. Tilsammen ble to elevpar filmet og tatt lydopptak av. I følge læreplanverket skal elever blant annet kunne diskutere og argumentere i matematikk. Videre i læreplanverket trekkes tallforståelse frem som en sentral del i matematikkundervisningen. Denne studien bidrar til innsikt i aksepter vedrørende elevenes argumentasjon og tallforståelse.

Studien har ikke en hensikt å skape en integrert teori mellom argumentasjon og tallforståelse, men å få et nærmere innblikk i samspillet mellom de to elementene. Til denne studien er det derfor knyttet teori til argumentasjon og tallforståelse samt regnefortelling. Elevenes argumentasjon er analysert med utgangspunkt i Toulmin (2003) og kvalitetene i tallforståelse er analysert med utgangspunkt i McIntosh, Reys og Reys (1992) sine beskrivelser av komponenter som er sentral innen tallforståelse.

Fra analysen framstod det som at elevenes samhandling påvirket elevenes argumentasjon. Blant annet kan en se hvordan tallforståelsen påvirket argumentasjonen hoe elevene. Ved flere anledninger kommer tallforståelsen til syne som et grunnelement. En av tendensene viser at elever gjennom argumentasjon får mulighet til å tenke på tall og deres bruksområder på flere forskjellige måter. Argumentasjonen påvirker tallforståelsen ved at elevene får muligheten til å utforske, visualisere og relatere til ulike måter å tenke på.

Regnefortellinger gir elevene flere ulike fremgangsmåter og løsninger. I tillegg viser analysen hvordan regnefortellinger utfordrer elevene til å argumentere for de valgene som er tatt. Gjennom analysen kommer det frem hvordan elevene forstår, beregner, anvender, resonnerer og engasjerer seg. På den måten får elevene muligheten til å vurdere strategi og svar i lys av det aktuelle problemet. Dette er med på å danne grunnlaget for tallforståelsen og den matematiske tekning. Resultatene i studien indikerer at argumentasjonen påvirkes av deres matematiske tallforståelse.

I 2020 trer en ny læreplan i kraft som inkluderer programmering i matematikkfaget (Kunnskapsdepartementet, 2018a). I den sammenheng har det vært mye debatt på hvordan dette skal gjøres, hvordan programmering skal skrives inn i læreplanene og hvordan lærere kan arbeide med programmering i matematikkundervisningen (Bærland og Gilje, 2017; Flote, 2016; Klovning, 2015; Waage, 2018). Med bakgrunn i den nye læreplanen har jeg i denne oppgaven valgt å forske på følgende problemstilling: Hvilke kvaliteter ved matematisk argumentasjon kan identifiseres når elever programmerer?

Studien baserer seg på at matematisk argumentasjon er en sosial prosess som kan være preget av både hverdagslig kommunikasjon og formell bevisføring. For å belyse problemstillingen har det blitt gjort en kvalitativ forskningsstudie der datamateriale av barn som programmerer har blitt analysert og diskutert. Datamaterialet har blitt samlet inn i samarbeid med en annen masterstudent der vi satte oss inn i programmering og matematisk argumentasjon, og utviklet et undervisningsopplegg for datainnsamlingen. Elevene fikk i oppgave å programmere en penn til å tegne geometriske figurer i et programmeringsprogram kalt Scratch. Datamaterialet har blitt presentert i form av dialogutdrag og skjermbilder av programmeringen. Med hjelp fra teori om programmering, matematisk argumentasjon og resonnering har kvaliteter ved elevenes matematiske argumentasjon når de programmerer blitt identifisert og diskutert opp mot problemstillingen. I dette arbeidet har særlig arbeidene til Lavy (2006) og Lithner (2000; 2006; 2008) spilt en stor rolle som sentrale analyseverktøy. Begge forskerne skrev i sine artikler om ulike kvaliteter hos elevers argumentasjon, der Lavy forsket på ulike typer argumenter når elever programmerte og Lithner har forsket på ulike former for resonnering.

Analysen og diskusjonen av datamaterialet viser at elever som hadde minst utfordringer i samarbeidet ofte argumenterte matematisk for ulike forslag og løsninger. Programmeringsprogrammet gjorde at arbeidsprosessen ble mer detaljert enn hvis elevene hadde tegnet figurene for hånd. Dette gjorde at det ble skapt flere muligheter for matematisk argumentasjon ettersom det er i arbeidsprosessen disse mulighetene ligger. Studien gir innsikt i hvordan lærere kan arbeide med programmering uten å miste fokuset på matematikk. Samtidig er studien også et bevis på at man kan lage undervisningsopplegg om programmering uten å være ekspert i emnet, og at det, med litt innsats, er mulig for alle lærere å sette seg inn i programmering.

I dette prosjektet har jeg deltatt i forskningsgruppen LATACME, i underprosjektet Produksjon av regnefortellinger for å fremme matematisk forståelse. Forskningsgruppen undersøker argumentasjon i regnefortellinger. Mitt datamateriale er derfor innhentet med dette som bakgrunn. Formålet med denne studien er å undersøke elevers argumentasjon i egenproduserte regnefortellinger. Dette kan knyttes sammen med to av de nye kjerneelementene i den nye læreplanen som skal tre i kraft 2020. Disse kjerneelementene er resonnering og argumentasjon, og representasjon og kommunikasjon (Utdanningsdirektoratet, 2018a).

Når det gjelder tidligere forskning på elevers argumentasjon i deres egenproduserte regnefortellinger, er det et lite forskningsfelt. Denne studien kan derfor være med på å tilføre mer forskning og være utgangspunkt for mer forskning.

Denne oppgaven er skrevet ut fra et elevperspektiv, men kan brukes av lærere for å få innsikt i elevers argumentasjon. Problemstillingen i denne oppgaven er: Hvordan argumenterer elever i arbeid med egne regnefortellinger i matematikk? For å svare på dette, deles problemstillingen inn i to underspørsmål: (1) Hvordan argumenterer elever i sin skriftlige regnefortelling? (2) Hvordan argumenterer elever muntlig for svaret i den skriftlige regnefortellingen? Argumentasjonen til 20 elever på 3. trinn blir analysert ved å bruke Toulmins modell for å vise hvor mye elevene argumenterer i regnefortellingene og hvor mye de argumenterer i intervjuet. Dette fremstilles i stolpediagram.

Stolpediagrammene viser to funn som blir trukket frem i denne oppgaven. Det ene funnet er at noen elever argumenterer lite i intervjuet, mens andre argumenterer mye. For å vise kontraster i datamaterialet, skal jeg trekke frem to elever som argumenterer lite og to elever som argumenterer mye i intervjuet. Det andre funnet som stolpediagrammene viser, er at mange elever argumenterer mer i intervjuene enn de gjør i regnefortellingene. Disse to funnene blir diskutert for å finne mulige årsaker til at det er slik.

I 2006 vart skriving innført som ein av fem grunnleggande ferdigheitar i Kunnskapsløftet, LK06. Skriving som grunnleggande ferdigheit er innarbeidd i kompetansemåla til alle fag gjennom heile skuleløpet, noko som inneber at alle lærarar har eit ansvar for skriveopplæringa i sitt fag. På utdanningsdirektoratet sine heimesider blir det trekt fram at samfunnet stiller stadig større krav til komplekse språklege ferdighetar, og at skulen har eit ansvar for å sosialisera og førebu elevane på dei skriverollane dei vil møta seinare i livet (Utdanningsdirektoratet, 2014). Skriving er med andre ord eit satsingsområde i skulen, men ifylgje Opsal (2013) er det lite forsking som seier noko om skriving i matematikk i norsk skule. Forskinga som er gjort peikar mellom anna på verdien av å la elevane arbeida med skriftlege forklaringar og grunngjevingar (Moskal & Magone, 2000), men at eit slikt fokus på argumentasjon og bevis i matematikk ofte blir knytt til dei eldste klassetrinna (Hovik & Solem, 2013). Hovik og Solem (2013) peikar òg på at elevar bør verta introdusert for desse temaa tidlegare, slik at dei blir fortrulege med å grunngje og forklara resonnementa sine. Studia tek sikte på å gje innsikt i korleis yngre elevar argumenterer ved å undersøkja korleis elevar på 4. og 7. trinn argumenterer skriftleg i matematikk. For å undersøka dette har eg utforma ei oppgåve som utfordrar elevane til å argumentera skriftleg i matematikk ved å svare på (1) kva som skjer dersom ein adderer to oddetal og (2) kva som skjer dersom ein adderer eit oddetal og eit partal. Analysen baserer seg på 59 elevtekstar frå 4. trinn og 60 elevtekstar på 7. trinn. I analysen av elevtekstane har studien både ei kvantitativ og kvalitativ tilnærming, og ulike kvalitetar ved elevtekstane blir identifisert ved å bruke Balacheff (1988) og Toulmin (2003) som analyseverktøy. Ved hjelp av Balacheff si nivåinndeling har eg delt elevtekstane inn i fem ulike nivå, etter korleis elevane argumenterer for ein matematisk påstand. Ved hjelp av Toulmin sin modell har eg studert enkeltargument i utvalde elevtekstar. Resultatet av fordelinga viser at dei tre midtarste nivåa har ei nokså lik fordeling på dei to klassetrinna, medan ein kan observera større skilnadar på det lågaste og høgaste nivået. I analyse av enkeltargument i utvalde elevtekstar vart det identifisert ulike kvalitetar innan det same nivået. Dette kom tydelegast fram i elevtekstane på 7. trinn. I tillegg viser resultatet at det ikkje er alle elevtekstar som lar seg plassera i Balacheff si nivåinndeling, då dei har ein samansett kompleks og argumentasjon.