Notater med eksempler og oppgaver m/fasit

Inhomogene lineære differensialligninger med konstante koeffisienter

 1. orden

2. orden:

Løsningene til disse to ligningene består av 2 deler, den homogene løsningen og den partikulære løsningen: .

er løsningen til den homogene ligningen og er køsningene til den inhomogene løsningen.

(den homogene løsningen):

Homogene lineære differensialligninger med konstante koeffisienter

1. orden:

Ved å anta er en løsning, kan man sette opp den karakteristiske ligningen:

2. orden:

Ved å anta er en løsning, kan man sette opp den karakteristiske ligningen:

Den partikulære løsningen kan bestemmes ved å velge med å ta utgangspunkt i :

 

 

 gir  

  gir

gir

gir

gir

Legg merke til hvis det innhomogene leddet er samme som den homogene løsningen, har man har dobbelløsning, skal man gange med eller kanskje med hvis er trippelløsning.

Eksempel:

For   er den homogene løsningen og dermed . (her er døbbelløsning)

For er den homogene løsningen og dermed   er . (her er trippelløsning)